Задание
Задана горизонтальная двух опорная балка. Балка нагружена активными силами: сосредоточенной F , распределенной силой интенсивностью q и парой сил с моментом М (табл.2.1 и рис 2.6).
Цель работы – построить расчётную схему балки, составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору.
Теоретическое обоснование
Во многих машинах и сооружениях встречаются конструктивные элементы, предназначенные преимущественно для восприятия нагрузок, направленных перпендикулярно их оси. Расчетные схемы таких элементов (валы, части металлоконструкции и др.) могут быть представлены балкой. Балки имеют опорные устройства для передачи усилий и сопряжения с другими элементами.
Основными типами опор балок являются шарнирно – подвижная, шарнирно – неподвижная опоры и жесткая заделка.
Шарнирно – подвижная опора (рис.2.1,а) допускает поворот балки вокруг оси шарнира и линейное перемещение на незначительное расстояние параллельно опорной плоскости. Точкой приложения опорной реакции является центр шарнира. Направление реакции R – перпендикуляр к опорной поверхности.
Шарнирно – неподвижная опора (рис.2.1,6) допускает только поворот балки вокруг оси шарнира. Точкой приложения являются также центр шарнира. Направления реакции здесь неизвестно, оно зависит от нагрузки, приложенной к балке. Поэтому для такой опоры определяются две неизвестные – взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y опорной реакции.
Жесткая заделка (защемление) (рис.2.1,в) не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только величина, но и её точка приложения. Таким образом, для определения опорной реакции необходимо найти три неизвестные: составляющие R x и R y по осям координат и реактивный момент MR относительно центра тяжести опорного сечения балки.
А б в
Рис.2.1
Равновесие балки под действием любой системы заданных сил, расположенных в одной плоскости, может быть обеспечено одной жёсткой заделкой или двумя опорами – подвижной и неподвижной. Балки называются соответственно консольными (рис.2.2,а) или двух опорными (рис.2.2,б)
Рис.2.2
На балку действуют заданные силы и пары сил. Силы по способу приложения делятся на распределенные и сосредоточенные. Распределенные нагрузки задаются интенсивно q, Н/м и длиной 1, м. равномерно распределенные нагрузки условно изображаются в виде прямоугольника, в котором параллельные стрелки указывают, в какую сторону действует нагрузка (рис.2.3). В задачах статики равномерно – распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Q, численно равной произведению q * 1, приложенной посредине длины и направленной в сторону действия q.
Рис.2.3 Рис. 2.4
Сосредоточенные нагрузки приложены на сравнительно небольшой длине, поэтому считается, что они приложены в точке. Если сосредоточенная сила приложена под углом к балке, то для определения реакции опор удобно разложить её на две составляющие – F x = Fcos α и F y =F sin α (рис.2.4).
Реакции опор балки определяются из условий равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Для плоской системы можно составить три независимых условия равновесия:
∑F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 или
∑М ia = 0; ∑M iB = 0; ∑M iC = 0 или } (2.1)
∑M iA = 0; ∑M iB = 0; ∑F ix = 0.
Где О, А,В, С – центры моментов.
Рационально выбрать такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы по одной неизвестной реакции.
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с заданием изобразить балку и действующие заданные силы.
Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить перпендикулярно оси х.
1. Произвести необходимые преобразования: силу, наклоненную к оси балки под углом а, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – её равнодействующей.
2. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль осей координат.
3. Составить уравнения равновесия балки, чтобы решением каждого из трёх уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.
4. Проверить правильность определения реакций опор по уравнению, которое не было использовано для решения задач.
5. Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.
6. Ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?
2.Какие составляющие реакции опор балок возникают в шарнирно – подвижной, шарнирно – неподвижной опорах и жёсткой заделке?
3.Какую точку целесообразно выбрать в качестве центра момента при определении реакций опор?
4.Какая система является статически неопределимой?
Пример выполнения
1.Задание:
q = 5 H/м, F = 25 H, M = 2 H*м, α = 60°
2.Преобразование заданных сил:
F x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H
Q = q*1 = 5*6 =30 H.
Рис.2.5
3.Составим расчётную схему (рис.2.5)
4.Уравнения равновесия и определение реакций опор:
а) ∑M ia = 0; -Q *3 – F y * 7.5+ R B * 8.5 – M = 0;
б) ∑M iB =0: - R Ay *8.5 + Q *5.5 + F y *1 – M = 0:
в) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.
5.Проверка:
∑F iy = 0; R Ay = Q – F y + R B = 0; 21.724 – 30 – 21.651 + 29.927 = 0; 0 = 0
Наиболее нагруженной является опора В – R B =29.927 Н. Нагрузка на опору А – R A =
Литература:
Таблица 2.1
№ варианта | № схемы на рис. 2.6 | q , Н/м | F, Н | М, Н м | , град |
4,5 | |||||
2,5 | |||||
4,5 | |||||
3,5 | |||||
6,5 | |||||
1,5 | |||||
0,5 | |||||
Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке.
Уметь приводить произвольную плоскую систему сил к точке, определяя величины главного вектора и главного момента системы.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь ими пользоваться при определении реакций в опорах балочных систем.
Основные формулы и предпосылки расчета
Виды опор балок и их реакции (рис. П2.1)
Моменты пары сил и силы относительно точки (рис. П2.2)
Главный вектор
Главный момент
Условия равновесия
Проверка:
Проверка:
Упражнения при подготовке к самостоятельной работе
4. Перенести силу F в точку А, используя теорему Пуансо (рис. П2.3).
F = 20кН; АВ = 6м; ВС = 2м.
2. Привести систему сил к точке В , определить главный вектор и главный момент системы сил (рис. П2.4). АВ = 2м; ВС = 1,5м; CD = 1м. F 1 = 18кН; F 2 = 10кН; F 3 = 30кН; т = 36кН-м.
3. Система сил находится в равновесии. Определить величину момента пары т (рис. П2.5).
F 1 = F 1 ’ = 10 кН; F 2 = F 2 ’ = 20кН.
4. Нанести реакции в опорах балок 1 и 2 (рис. П2.6).
5. Определить величину реакции в опоре А. Приложена распределенная нагрузка интенсивностью q = 5кН/м (рис. П2.7).
6. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опоре защемленной балки.
7. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опорах двухопорной балки, закрепленной на двух шарнирах.
Расчетно-графическая работа №2. Определение реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных сил и пар сил
Задание 1. Определить величины реакций в опоре защемленной балки. Провести проверку правильности решения.
|
|
Расчетно-графическая работа №3. Определение величин реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок
Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.
Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
При защите работ ответить на вопросы карт с тестовыми заданиями.
Тема 1.4. Статика. Произвольная плоская система сил
ЛЕКЦИЯ 9
Тема 1.7. Основные понятия кинематики. Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.
Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).
Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.
Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также и вал, болт, ось железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. д.
Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего случая изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой (на рис. 4, а - плоскость П), причем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки. Такой случай будем называть плоским изгибом .
На расчетной схеме балку принято заменять ее осью (рис. 4, б). При этом все нагрузки, естественно, должны
Рис 4 быть приведены к оси балки и силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.
Как правило, балки имеют опорные устройства - опоры. Для расчета же их схематизируют в виде трех основных типов опор:
а) шарнирно-подвижная опора (рис. 5, а), в которой может возникать только одна составляющая реакции - , направленная вдоль опорного стерженька;
б)
шарнирно-неподвижная
опора
(рис.
5, б), в которой могут возникать две
составляющие - вертикальная реакция
и
горизонтальная
реакция
в)
защемление
(иначе
жесткое
защемление или заделка),
где
могут быть три составляющие - вертикальная
и
горизонтальная
реакции
и опорный момент Ма
(рис.
5, в).
Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А - центре тяжести опорного сечения.
Балка, показанная на рис. 6, с, называется простой , или однопролетной , или двухопорной , а расстояние l между опорами - пролетом .
Консолью называется балка, защемленная одним концом и не имеющая других опор (рис. 4, б), или часть балки, свешивающаяся за опоры (часть ВС на рис. 6, б; части АС и BD на рис. 6, е). Банки, имеющие свешивающиеся части, называют консольными (рис. 6, б, в).
Для плоской системы сил можно составить три уравнения статики для определения неизвестных реакций.
Поэтому балка будет статически определимой, если число неизвестных опорных реакций не превышает трех; в противном случае балка статически неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 4 и 6, статически определимы.
Балка, изображенная на рис. 7, а , называется неразрезной и является статически неопределимой, поскольку имеет пять неизвестных опорных реакций: три в опоре А и по одной в опорах В и С.
Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках D и Е (рис. 7, б), получим статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумма моментов относительно центра шарнира от всех сил, расположенных по одну сторону от него, равна нулю .
Построение эпюр для статически неопределимых балок требует умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока исключительно статически определимыми балками.
Способы определения опорных реакций изучают в курсе теоретической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балку (рис. 6, а).
1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные реакции находят из следующих уравнений равновесия:
а)
сумма проекций всех сил на ось балки
равна нулю:
откуда находят
б)
сумма моментов всех сил относительно
опорного шарнира А
равна
нулю:
откуда находят
.
в)
сумма моментов всех сил относительно
опорного шарнира В
равна
нулю:
откуда
находят
.
2. Для контроля можно использовать или условие равенства нулю суммы проекций на вертикаль:
или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-либо точки С, отличной от А и В, т. е.
У
Условием
пользоваться
проще, но оно дает надежную проверку
только в тех случаях, когда к балке не
приложены сосредоточенные моменты.
3. Перед составлением уравнений равновесия нужно выбрать (вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее направление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию положительной,
5. Если на балку действует распре деленная нагрузка, то для определения реакций ее заменяют равнодействующей, которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре тяжести этой эпюры.
Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки, показанной на рис. 8.
Прежде всего находим равнодействующие Р 1 и Р 2 нагрузок, распределенных на участках АС н СВ:
;
.
Сила Р 1 приложена в центре тяжести прямоугольника, а Р 2 - в центре тяжести треугольника. Находим реакции:
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.
Уметь выполнять проверку правильности решения.
Виды нагрузок и разновидности опор
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на
· сосредоточенные и
· распределенные.
Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной.
Часто нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).
q - интенсивность нагрузки; I - длина стержня;
G = ql - равнодействующая распределенной нагрузки.
Разновидности опор балочных систем (см. лекцию 1)
Балка - конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.
Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной.
Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Rax и и парой с моментом Mr.
Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде
Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.
Для контроля правильности решений используют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например
Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.
Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)
|
Не известны три силы, две из них - вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:
Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение
При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):
Примеры решения задач
Пример 1. Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.
|
Решение
2. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.
В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
3. Используем систему уравнений:
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.
3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.
|
Решение
1. Левая опора (точка А) - подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Правая опора (точка В) - неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Ох совмещаем с продольной осью балки.
2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:
G = ql; G = 2*6 = 12 кН.
Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.8, б).
4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде
6. Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:
Реакция отрицательная, следовательно, R А y нужно направить н противоположную сторону.
7. Используя уравнение проекций, получим:
R Bx - горизонтальная реакция в опоре В.
Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.
8. Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия
Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:
5,1 - 12 + 34,6 – 25 -0,7 = 0.
Пример 3. Определить опорные реакции балки, показанной на рис. 1.17, а .
Решение
Рассмотрим равновесие балки АВ. Отбросим опорное закрепление (заделку) и заменим его действие реакциями Н А, V A и т А (рис. 1.17, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (рис. 1.17,6) и составляем уравнения равновесия:
Составим проверочное уравнение
следовательно, реакции определены верно.
Пример 4. Для заданной балки (рис. 1.18, а ) определить опорные реакции.
Решение
Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем опорные закрепления и заменяем их действие реакциями (рис. 1.18,6). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.18,6) и составляем уравнения равновесия:
q 1 ,
Расстояние от точки А q 1 (а + b);
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q 2 ;
Расстояние от точки А до линии действия равнодействующей q 2 (d - с).
Подставив числовые значения, получим
откуда V B = 28,8 кН;
- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 1 (a+b);
- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 2 (d - c).
откуда V A = 81,2 кН.
Составляем проверочное уравнение:
Пример 5. Для заданной стержневой системы (рис. 1.19, а ) определить усилия в стержнях.
Решение
Рассмотрим равновесие балки AB, к которой приложены как заданные, так и искомые силы.
На балку действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и сосредоточенный момент т .
Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.19, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.19, б ) и составляем уравнения равновесия:
Где q (a + b) - равнодействующая
равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (на чертеже она показана штриховой линией).
Подставив числовые значения, получим:
откуда N AC = 16 кН;
Напомним, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;
где N BD cos α N BD ", N BF cos β - вертикальная составляющая силы N BF (линии действия горизонтальных составляющих сил N BD и N BF проходят через точку А и поэтому их моменты относительно точки А равны нулю). Подставляя числовые значения и учитывая, что N BD = 1,41 N BF , получаем:
откуда N BF = 33,1 кН.
Тогда N BD = 1,41*33,1 = 46,7 кН.
Для определения усилий в стержнях не было использовано уравнение равновесия: ΣP to = 0. Если усилия в стержнях определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на балку, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, усилия в стержнях определены верно.
Пример 6. Для заданной плоской рамы (рис. 1.20, а ) определить опорные реакции
Решение
Освобождаем раму от связей и заменяем их действие реакциями N А, V A , V B (рис. 1.20, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.20, б
) и составляем уравнения равновесия:
где Р 2 cos α - вертикальная составляющая силы Р 2 ;
P 2 sin α - горизонтальная составляющая силы Р 2 ;
2qa - равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (показана штриховой линией);
откуда V B = 5,27qa;
откуда H A =7qa
линия действия силы Р 2 cosα проходит через точку В и поэтому ее момент относительно точки В равен нулю
откуда V A = 7qa.
Для определения реакций не было использовано уравнение равновесия ΣP iv =0. Если реакции определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на раму, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, опорные реакции определены верно.
Напомним, что сумма проекций сил, составляющих пару с моментом т, на любую ось равна нулю.
Контрольные вопросы и задания
1. Замените распределенную нагрузку сосредоточенной и определите расстояние от точки приложения равнодействующей до опоры А (рис. 6.9).
2. Рассчитайте величину суммарного момента сил системы относительно точки А (рис. 6.10).
3. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?
4. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?
5. Определите реактивный момент в заделке одноопорной балки, изображенной на схеме (рис. 6.11).
6. Определите вертикальную реакцию в заделке для балки, представленной на рис. 6.11.